新闻中心


王骥教授提出了非线性振动方程求解的一个新方法
2022-04-03  

 王骥教授提出了非线性振动方程求解的一个新方法


  最近,王骥教授连续发表了多篇论文,介绍了基于扩展的伽辽金法(Extended Galerkin Method, EGM)扩展的瑞利-里兹法(Extended Rayleigh-Ritz Method, ERRM)的非线性振动分析方法和结果,提供了一个新颖的非线性方程求解思路。王骥教授的这项研究引起了学术界的关注,先后应邀在清华大学、南京航空航天大学、上海大学和北京应用物理和数学研究所等介绍,也在国内非线性振动会议和国际会议上作报告进行介绍。这项研究也受到了同行学者和研究人员的关注,已经有合作论文发表,拓宽了研究主题和学术合作领域。

  在这项研究中,王骥教授将大家熟知而且应用极其广泛的源自于力学的近似分析方法推广到常见的非线性问题中,使普遍应用的伽辽金法和瑞利-里兹法也可以有效地用于非线性问题的近似分析。伽辽金法是固体力学近似分析中的一个非常重要的方法,可以从平衡方程出发来计算弹性体变形和振动的近似解,是今天大家熟知和广泛应用的有限元法的基础,也是我们熟悉的瑞利-里兹法的基础。这两个方法作为近似分析方法应用很广,在力学和应用数学的教科书上都有详细介绍。另一方面,一般强调伽辽金法仅适用于线性方程,很少看到直接用于我们经常遇到的非线性问题的求解。在近期研究中,王骥教授发现,如果设定结构振动响应是简谐函数及其组合,并对能量函数(拉格朗日)在一个周期内积分,就可以用瑞利-里兹法分析典型的非线性振动问题,得到我们熟悉的近似解。图1给出了该拓展方法求解非线性振动方程的一个简单流程示例。仔细分析这一方法的基本原理,王骥教授认识到,这一基于振动周期的积分计算的近似方法也可以推广到一般线性微分方程和伽辽金法,从而扩展这些重要的经典方法的应用范围。

 

B1BA

1 拓展伽辽金法求解非线性方程思路示例


  王骥教授提出的对伽辽金法和瑞利-里兹法的扩展,就是对所有的近似方程增添时间上一个基频振动周期的积分,即对方程在时间上取一个振动周期的平均,从而将微分方程化为代数方程,根据非线性问题的周期平均特性实现近似和相应的简化。对时间积分这一做法,在过去的瑞利-里兹法的基础上作为平均拉格朗日函数法(Averaged Lagrangian Method)和何吉欢教授提出的变分法中都有用到,通常时间积分区间取一个或者四分之一个基频周期。这种做法对近似求解非线性振动方程很有效,但是推广不够,常见的教科书和研究工作大多采用经典的谐波平衡法等近似方法。作为非线性求解方法的新技术,廖世俊教授所提出的同伦分析法(Homotopy Analysis Method, HAM)得到了广泛应用。在近来的系列研究中,王骥教授团队发现一个周期的积分和振动特征分析一致,也和平均拉格朗日函数法一致,从而将伽辽金法和瑞利-里兹法扩展到非线性振动分析的一般问题。扩展的伽辽金法和瑞利-里兹法将基于时间积分和这些传统的的方法统一起来,同时又拓展了伽辽金法在非线性问题中的应用,提供了一个非线性问题的新解法,也将改变非线性有限元分析的流程。

  在陆续解决的一系列问题中,王骥教授团队用这些新方法求得了我们熟悉的非线性方程如Duffing方程的高阶近似解,也获得了多自由度非线性强迫振动的近似解。这些方法也应用到了典型的非线性梁板振动问题,同样用简单步骤获得了传统的近似解。扩展的伽辽金法也用于压电声波器件的非线性分析,一篇邀请论文已经在力学快报(TAML)发表,更多的论文也在投稿和撰写中。

  谈到扩展伽辽金法(EGM)的特点时,王骥教授说:“从计算过程和完整的流程来看,我们完全应该可以用伽辽金法分析非线性振动问题,从而对这一常用的有效方法进行了基于时间积分的扩展。过去在非线性有限元分析时,简化过程中的简谐函数的分解一直觉得繁琐,但大家都熟悉这样的结果。最近突然发现,用简谐函数加权的积分计算完全可以得到同样的结果。很明显,积分计算相对简单,是对近似分析过程的极大简化。”经过验证,王骥教授发现这一方法非常有效,可以推广到非线性振动的一般问题和方程,以及类似的非线性求解方法。在平衡方程和能量的加权函数中添加简谐函数,不会影响线性问题的结果和步骤,只需要增加了对简谐函数的积分。也就是说,这一方法对振动问题普遍适用,而对非线性问题则可以简单地求出常见的近似解而显得特别有用。

  王骥教授表示,这方面的研究会持续深入展开,争取在解决一些具有挑战性的声波器件非线性问题的研究方面取得全新成果。


近期发表的非线性分析论文

[1]Haoxiang Wu, Rongxing Wu, Tingfeng Ma, Zixiao Lu, Honglang Li, Ji Wang: A nonlinear analysis of surface acoustic waves in isotropic elastic solids, Theoretical and Applied Mechanics Letters, 2022. [DOI: 10.1016/j.taml.2022.100326]

[2]Ji Wang and Rongxing Wu, The extended Galerkin method for approximate solutions of nonlinear vibration equations, Appl. Sci. 2022, 12(6), 2979. [DOI: 10.3390/app12062979]

[3]Baiyang Shi, Jian Yang, Ji Wang. Forced vibration analysis of multi-degree-of-freedom nonlinear systems with the extended Galerkin method. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2022: 1–9. [DOI:10.1080/15376494.2021.2023922]

[4]Jun ZHANG, Rongxing WU, Ji WANG, Lihong WANG: An approximate solution of nonlinear flexure of a cantilever beam with the Galerkin method, ResearchGate, 2022. [DOI: 10.13140/RG.2.2.35369.06248]

[5]Huimin Jing, Xianglin Gong, Ji Wang, Rongxing Wu, Bin Huang: An Analysis of Nonlinear Beam Vibrations with the Extended Rayleigh-Ritz Method, Journal of Applied and Computational Mechanics, 2022. [DOI: 10.22055/jacm.2022.39580.3434]

[6]Yahui Tian, Litian Wang, Yuanyuan Wang, Haoxiang Wu, Lirong Qian, Honglang Li, Jinghui Wu, Ji Wang, Research in Nonlinearity of Surface Acoustic Wave Devices, Micromachines, 12(12), 1454, 2021. [DOI: 10.3390/mi12121454]

[7]Ji Wang. The extended Rayleigh-Ritz method for an analysis of nonlinear vibrations. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2021: 1–4. [DOI:10.1080/15376494.2021.1892888]

[8]Rongxing Wu, Ji Wang, Jianke Du, Yuantai Hu, Hongping Hu. Solutions of nonlinear thickness-shear vibrations of an infinite isotropic plate with the homotopy analysis method. Numerical Algorithms, 2012, 59(2): 213–226. [DOI:10.1007/s11075-011-9485-2]

 



 

上一条:Mathematical Problems in Engineering 特刊Mathematical Methods of Coupled-Field Analysis in Engineering征稿
下一条:压电实验室和台晶电子继续开展深度合作
关闭窗口

更多消息请联系:

宁波大学压电器件技术实验室

联系人:王骥
联系电话:0574-8760 0467
E-mail:wangji@nbu.edu.cn

网站:http://piezo.nbu.edu.cn/

Powered by 压电器件技术重点实验室

管理登陆