悬臂梁非线性振动高阶频率的扩展伽辽金法分析

非线性效应是指系统的响应与作用力或位移之间的关系不再遵循线性关系的情况。在实际工程中，许多系统都存在非线性效应，包括材料的非线性、几何非线性和外部激励所引起的非线性等。悬臂梁作为一种典型的工程结构，广泛应用于各种建筑、起重设备、风力发电和航空航天等领域。在悬臂梁振动中，非线性效应可能会导致振动频率的变化，其自由端的位移或转角与振动频率的关系不再是线性关系，并且振动模态也会随之变化。通过对悬臂梁的非线性振动进行分析可以有助于理解和预测系统的动态响应，从而为振动抑制和控制以及结构设计提供指导。

王骥教授提出的非线性振动分析的扩展伽辽金法(Extended Galerkin Method, EGM)或扩展瑞利-里兹法(Extended Rayleigh-Ritz Method, ERRM)在这项研究中得到了应用，有效地解决了悬臂梁非线性振动高阶频率的近似分析问题，得到并验证了悬臂梁频率与转角关系的近似结果。研究工作从欧拉-伯努利梁理论出发，构建带有惯性效应的非线性运动方程，采用扩展伽辽金法对非线性微分方程进行简化，从而获得悬臂梁振动频率的非线性代数方程和相应的数值解。扩展伽辽金法通过对一个振动周期内的加权运动方程进行积分，以消除变形函数中的谐波，得到一组耦合高阶振动振幅(转角)的非线性代数方程，并得到非线性振动频率与振幅依赖关系的数值解。

表1 不同转角下非线性高阶频率的变化

这项研究给出了悬臂梁高阶非线性频率与自由端转角之间的关系。这些数据表明，在小转角下，非线性效应不明显，频率与转角遵循线性关系，但是在大转角下，非线性效应明显，两者之间不再遵循线性关系，并且随着转角的增大，频率也会逐渐提高。

图 1 悬臂梁的一阶模态的转角沿梁的长度的变化

图 2 悬臂梁的二阶模态的转角沿梁的长度的变化

图 3 悬臂梁的三阶模态的转角沿梁的长度的变化

根据频率和转角的关系这里分别绘制了悬臂梁的前三阶振型。对转角进行归一化后可以看出，悬臂梁在一阶频率下的非线性模态与线性模态没有差异，但是在高阶频率下，非线性模态与线性模态之间存在明显差异，并且随着转角的增大，非线性频率对振型的影响变得更加显著。

宁波大学研究生孟保辰是这篇论文的第一作者，论文通讯作者为宁波大学压电器件实验室的王骥教授。参与这项研究的团队成员包括宁波大学压电器件实验室的连晨成同学、景惠敏老师、林骥教授；宁波职业技术学院的吴荣兴副教授；美国佛罗里达大西洋大学的Isaac Elishakoff 教授。本研究得到了国家自然科学基金、宁波市智能制造2025等计划的支持。

新发表论文：

[1] MENG B C, LIAN C C, WANG J, et. al. The approximate analysis of higher-order frequencies of nonlinear vibrations of a cantilever beam with the extended Galerkin method[J/OL]. ASME. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2024, 19(4): 1-15. DOI: 10.1115/1.4064724

其它相关论文：

[1]WANG J. The extended Rayleigh-Ritz method for an analysis of nonlinear vibrations[J]. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2022, 29(22): 3281-3284. DOI:10.1080/15376494.2021.1892888

[2] WANG J, WU R. The extended Galerkin method for approximate solutions of nonlinear vibration equations[J]. Applied Sciences, 2022, 12(6): 2979. DOI: 10.3390/app12062979

[3] MENG B C, LIAN C C, WANG J, et. al. The approximate solutions of large deflection of a cantilever beam under a point load[J/OL]. Mathematical Problems in Engineering, 2023. DOI: 10.1155/2023/2138819

[4] LIAN C, MENG B, JING H, et al. The analysis of higher order nonlinear vibrations of an elastic beam with the extended Galerkin method[J]. Journal of Vibration Engineering & Technologies, 2023: 1-16. DOI: 10.1007/s42417-023-01011-6

[5] WU H, WU R, MA T, et al. A nonlinear analysis of surface acoustic waves in isotropic elastic solids[J]. Theoretical and Applied Mechanics Letters, 2022, 12(2): 100326. DOI: 10.1016/j.taml.2022.100326

[6] LIAN C, WANG J, MENG B, et al. The approximate solution of the nonlinear exact equation of deflection of an elastic beam with the Galerkin method[J]. Applied Sciences, 2022, 13(1): 345. DOI: 10.3390/app13010345