电磁固体中弹性振动和波传播的非线性偏场效应的一般分析方法
随着可穿戴设备的日益普及，设备中的电磁元器件快速小型化所带来的影响也逐渐变得不可忽视，包括电磁元器件快速小型化一般会放大偏场效应。为了更准确的评估偏场的影响，本研究将非线性弹性理论和波传播原理结合起来，从运动学和本构关系的角度一起进行考虑，建立考虑偏场效应的电磁弹性体的运动方程，分析解决在较大变形即强偏场作用的影响。这项研究是很有必要的，因为随着元件的快速小型化，一些常见的敏感元器件诸如滤波器和传感器的谐振器在工作时会受到周期电流、温度、机械冲击等因素的影响，会改变其工作状态和特性。
最近，王骥教授团队提出了非线性振动分析的扩展伽辽金法和瑞利-里兹法，并将它们用于这项研究，有效地解决了电磁固体中弹性振动和波传播的非线性偏场影响分析计算问题。在研究中，首先回顾了非线性电磁方程和耦合偏场方程，再基于具体情况下的结构和偏场，对该方程进行简化和求解。并结合算例，从欧拉梁的基本理论出发，构建有初始变形的欧拉梁的运动方程，采用扩展伽辽金法对方程进行求解，从而获得了有初始变形的欧拉梁的振动频率和初始挠度以及振动幅值的关系式。这里的扩展伽辽金法，就是对所有的近似方程加上空间上一个波长和时间上一个周期的积分，即在振动的空间上和时间上进行平均，从而将微分方程化为代数方程，特别表征了非线性问题的周期平均特性。这一方法来源于基于结构空间的伽辽金法，并将时间变量和空间变量等同考虑，实现了非线性问题的简化。这一做法在过去的瑞利-里兹法的基础上作为平均拉格朗日函数法(Averaged Lagrangian Method)和变分近似分析中都有用到，早先时间积分曾取四分之一个基频周期完成。论文特别给出了不同偏场作用时的耦合振动分析所需的方程和计算流程，可以解决一些典型的紧迫问题如传感器等。作为算例，论文给出了具有初始变形的弹性梁振动方程，在完整分析的基础上给出了不同初始挠度和振幅的频率变化曲线。很明显，这些结果可以用来评估初始变形对振动频率的影响，涉及结构的动态性能和传感器设计等应用技术。
图1 在振动幅值确定的情况下，振动频率随初始挠度的变化而变化
图2 在初始挠度确定的情况下，振动频率随振动幅值的变化而变化
这项研究将变形偏场作用下的欧拉简支梁作为算例，提出可以将其等效分析为有初始变形的梁，并给出了欧拉梁振动频率与初始挠度以及振动幅值之间的关系。这些研究结果表明，变形梁的方程也可以看作是广义Duffing方程的一个例子，其频率是和初始挠度及振动幅值相关的二次函数关系。这表明振幅越小，频率变化越小，但振幅越大，频率变化将会越明显。这也是很多有射频和传感器元件的实际设备中所体现的基本特性。这项研究中所体现的分析流程也可以用于分析其他结构元件的偏场效应，例如Timoshenko梁、板和其他形式的结构单元，实现对初始变形之类的偏场效应的可靠分析。
本论文所提出的方法也可以用来解决多个强物理场相互叠加耦合的问题，还可以用于分析两种情况在某些因素或性质已知相似的前提下，对其动态性能进行数值分析、近似求解或者近似理论推导等。这里提出的常见偏场效应的分析流程对于电磁固体耦合场的非线性效应分析有普遍参考意义。
宁波大学研究生郑天喆是这篇论文的第一作者，论文通讯作者为宁波大学压电器件实验室的王骥教授。这项研究的成员还包括：中国科学院北京纳米能源与纳米系统研究所的王中林院士；宁波大学压电器件实验室的连晨成同学、景惠敏老师、陈晖老师、吕朝锋教授。本研究得到了国家自然科学基金、宁波市智能制造2025等计划的支持。
论文下载：
Tianzhe Zheng, Chencheng Lian, Zhonglin Wang, Huimin Jing, Hui Chen, Chaofeng Lu, Ji Wang. A generalized formulation of nonlinear effects of biasing fields on vibrations and propagation of elastic waves in electromagnetic solids. Acta Mech (2025). https://doi.org/10.1007/s00707-025-04298-6
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